O problema real do investidor

Este é um exemplo de uma situação extremamente comum: como alocar recursos e estipular corretamente o valor do stop quando queremos comprar mais de 1 ativo e temos um valor fixo de patrimônio além do qual não queremos perder? Leia o ativo abaixo e descubra o que fazer.

Em um determinado pregão, um investidor resolve comprar 2 ativos: ATIVO1 a 33,96 e ATIVO2 em 51,75. Os stops para cada ativo são ATIVO1: 30,52 e ATIVO2: 47,50.

Se ele dispõe de R$100 mil para investir, pergunta-se:

• Qual é a máxima alocação de seu patrimônio (qual a maior quantidade de dinheiro) de forma que sua perda total não seja superior a 8% desse mesmo patrimônio ?
• Se o investidor vai comprar no mercado inteiro, quantas ações de cada papel (ou número de lotes) ele deverá comprar para uma dada alocação do patrimônio permitida para que não perca mais de 8% de seu patrimônio ?

SOLUÇÃO

Está certo que o investidor terá que comprar menos de W = R$100 mil. Ou seja, uma fração (chamamos de z) de seu patrimônio será alocada na compra. P. ex., se z = 50%, ele só poderá comprar no máximo R$50 mil em ações.

Chamamos:

N1 = número de ações compradas em ATIVO1,

N2 = número de ações comprados em ATIVO2,

P1 = preço de compra de ATIVO1,

P2 = preço de compra de ATIVO2,

q1 = perda máxima admitida para o ATIVO1 se vendido no stop,

q2 = perda máxima admitida para o ATIVO2 se vendido no stop e

r = fração de perda máxima do patrimônio (r = -8%).

Para o caso, q1 = (30,52-33,96)/33,96 = -10% e q2= (47,5-51,75)/51,75 = -8% . Então temos:

N1*P1*q1+N2*P2*q2 = r*W

Essa é a equação da perda máxima pois N1*P1*q1 é a maior perda no ATIVO1 e N2*P2*q2 é a maior perda no ATIVO2. A soma dessas duas perdas não pode ser maior que r*W, que é a perda máxima. Como queremos encontrar o limite, formamos a igualdade, isto é, fazemos a perda ser igual a r*W.

Entretanto, sabemos também que:

N1*P1+N2*P2 = z*W

que é a equação do total comprado, e é igual a uma fração do patrimônio total para um determinado valor de z. Note que o valor de z não está fixo, ou seja, é possível escolher um valor pré-determinado.

As equações anteriores juntas podem ser resolvidas e a solução é:

N1=W*(z*q2-r)/P1*(q2-q1) e

N2=W*(r-z*q1)/P2*(q2-q1)

Agora é só substituir valores. Notamos, porém, que z deve ser tal que N1 e N2 sejam POSITIVOS. Como q1 < q2 então z*q2-r < 0 e r-z*q1<0, ou seja, r/q1 < z < r/q2 . Assim o valor de z não é tão livre assim, ele deve estar entre esses dois valores.

Para os dados do problema isso significa que 79% < z < 97,4%, ou seja, não existe um valor único para a máxima alocação do patrimônio. Entretanto, não é possível que essa alocação seja 100% para resolver o problema de forma ótima, e nem esteja abaixo de 80%.

Respostas possíveis para a alocação do patrimônio total entre 90 e 95% são dadas na tabela abaixo:

z  ATIVO1    ATIVO2

95% 300      1600
94% 400      1500
93% 500      1400
92% 600      1300
91% 800      1200
90% 900      1100

para z = 89%, por exemplo, a alocação permitida é a mesma para os dois ativos: 1000 e 1000 ações para os ATIVOS1 e 2, respectivamente. É fácil ver que para os valores extremos de z calculados anteriormente, deve-se comprar tudo no ATIVO1  (para z = 97% cerca de 1800 ações) ou no ATIVO2  (para z =79%, cerca de 2300). Essas também são alocações possíveis do problema.