Custos operacionais e retornos esperados

Vamos admitir que temos um sistema de trades ou negócios em bolsa (não importa o tipo, pode ser manual, sistema automático, etc), e que esse sistema tenha uma taxa de retorno Rp positiva e uma taxa de 'retorno' negativa Rn (perda). Isso é razoável se esperar, já que os retornos esperados em sistemas quantitativos (ou uma estratégia bem definida que é seguida rigorosamente) jamais poderá dar retornos positivos apenas. 

Nosso objetivo aqui é discutir como os custos operacionais alteram o retorno médio, o que deve ser levado em consideração na análise da rentabilidade do sistema (seja ele automático ou não).

Imaginamos que temos um sistema cuja rentabilidade é inferida após N trades (idealmente o que descrevemos aqui vale para N>30) com uma frequência positiva p, ou seja, dos N trades feitos N*p é o numero de trades positivos e N*(1-p) é o numero de trades negativos.

Assim, para todos os trades o retorno médio será dado por:

R = p*Rp+(1-p)*Rn

lembrando que Rn é negativo sempre. O investidor tem um patrimônio inicial de Po e o seu patrimônio, depois de n trades (sem considerar as taxas), será dado por:

Pn=Po*(1+R)^n

onde ^ é o simbolo de potência. Note que n pode ser maior que N, estamos aqui projetando a variação do patrimônio no futuro para mais trades. Como R é um valor médio, podemos sem problema algum considerar o retorno após n trades como sendo o valor acima. É fácil ver que Pn séra maior que P0 (ou seja, haverá lucro na estratégia, qualquer que ela seja) se R>0.

E como fica a questão das taxas?

Toda vez que acontece um trade o patrimônio sofre uma variação. Se Po é o patrimônio inicial, então o patrimônio após o primeiro trade pela formula acima é:

P1=Po*(1+R)

ainda sem considerar as taxas. Se supormos que t é custo de corretagem (fixa nesse caso, o caso de corretagem variável consideraremos oportunamente), então o patrimônio P1 após fechar a posição será na verdade:

P1 = Po*(1+R)-2*t

Podemos reescrever essa equação de outra forma:

P1 = Po*(1+(R-2*t/Po))

ou P1 = Po*(1+Rq),

onde

Rq = R-2*t/Po.

Aqui Rq é o que podemos chamar de 'retorno líquido considerando as taxas', um valor que é certamente menor que o retorno médio R.

Observe que, na relação para Rq, em nenhum lugar aparece dependência com o número de trades, ou seja: o retorno médio líquido não depende do número de trades mas do tamanho do patrimônio inicial.

Exemplo

Suponha que Rp = 3.0% e Rn = -1.5% e que p = 60%.  Então:

R = 3.0%*60%-1.5*40% = 1.2% (por trade)

Suponhamos que t = R$15,00 (taxa de corretagem) e que o trader tenha um patrimônio de R$10 mil reais. Então:

Rq(R$15) = 1.2% - 2*15/10000 = 0.9%

Vamos fazer a mesma conta para uma taxa de R$5:

Rq(R$5)= 1.2% - 2*5/10000 = 1.1%

Após 30 trades a variação esperada para o patrimônio de 10 mil será :

1 caso: (1+0.9%)^30 => 30.8%

2 caso: (1+1.1%)^30 => 38.8%

Veja que uma variação de 8% é esperada entre se usar uma ou outra taxa, logo, ao longo do tempo a questão das taxas realmente é muito pertinente e impacta fortemente o valor do patrimônio que poderemos ter no futuro, partindo de um investimento de 10 mil reais.

Mas e se o investidor tivesse um patrimônio de R$50 mil para operar? Nesse caso, o efeito das taxas seria menor:

Rq(15 reais, 50 mil) = 1.14%

Rq(5 reais, 50 mil) = 1.18%

1 caso (50 mil) : (1+1.14%)^30 => 40.5%

2 caso (50 mil) : (1+1.18%)^30 => 42.2%

Não só o efeito das taxas é menor para um patrimônio maior, mas também a diferença de retornos observada para diferentes taxas é também menor. O retorno seria (1+1.2%)^30 => 43% que é o máximo que se pode tirar para a estratégia se não houver nenhuma taxa, ou seja, corretagem zero, por exemplo.

Dado uma rentabilidade média R e uma taxa de corretagem t, se o alvo de retorno for um certo valor por número de trades, então existe um valor mínimo de patrimônio inicial ideal para se negociar. É difícil dizer qual o valor desse patrimônio - impossível sem se considerar todos os parâmetros - mas muitos afirmam que é da ordem de R$ 20 mil.

Veja que aquilo que parecia ser uma desvantagem - o caso de se ter um sistema que realize muitos negócios e, portanto, incorra em muitas taxas - na verdade não o é, pois o retorno final é tanto maior quanto maior o número de trades n. Disso vem a importância que é se ter um sistema ou estratégia de trades de curto prazo onde os valores de Rp, Rn e p sejam bem determinados. De qualquer forma, o investidor deve prestar atenção às taxas que são cobradas porque elas refletem diretamente sobre seu retorno. Mas o retorno depende não só das taxas: ele possui uma importante dependência com o patrimônio inicial investido.